Immersione (matematica)

In matematica, l'immersione indica la relazione tra due strutture, tali che una delle due contiene al suo interno una "copia" dell'altra, ovvero un sottoinsieme che ne conserva le medesime strutture. Questa relazione può essere vista come un'estensione del concetto insiemistico di inclusione.

Una struttura ${\displaystyle A\ }$ si dice immersa nella struttura ${\displaystyle B\ }$ se esiste una funzione iniettiva ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ tale che l'immagine ${\displaystyle f(A)}$ conserva tutte o parte delle strutture matematiche presenti in A, ereditandole da quelle di ${\displaystyle B\ }$. La funzione prende anch'essa il nome di immersione. ${\displaystyle B\ }$ viene detta estensione di ${\displaystyle A\ }$. Pertanto la definizione di immersione può assumere significati diversi a seconda del contesto in cui viene utilizzata e in particolare delle strutture che sono oggetto di studio; due strutture possono condividere più immersioni, anche se di norma una di queste viene considerata principale ed è detta immersione canonica; viene indicata con una freccia a uncino:

${\displaystyle A\hookrightarrow B}$.

Nei termini della teoria delle categorie, l'immersione è un monomorfismo (funzione iniettiva che conserva la struttura); l'insieme ${\displaystyle A\ }$ e la sua immagine ${\displaystyle f(A)\subset B}$ sono invece isomorfi, ovvero equivalenti dal punto di vista delle strutture interessate. Questa proprietà giustifica l'uso di identificare ${\displaystyle A\ }$ con la propria immagine, e la notazione semplificata ${\displaystyle A\subseteq B}$.